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TL;DR

本文针对非线性多智能体系统的安全最优输出一致问题，提出了一种参考调控的双层架构：上层用一阶控制屏障函数（CBF）过滤参考梯度流以避免高阶CBF的调参敏感性，下层通过内模输出调节器与参考依赖的李雅普诺夫函数构造动态安全裕度（DSMs）。在DSM相容性条件下，闭环系统可同时保证瞬态前向不变性、稳态最优解保持与Lyapunov小增益收敛。仿真表明，相较于基于HOCBF的反馈优化方法，本文方法在最优性与安全性之间取得了更好的平衡，并能借助自适应切向目标整形逃离非凸障碍产生的伪平衡点。

研究背景与动机

在多机器人协同、电网优化、交通网络控制等场景中，分布式反馈优化（feedback optimization）已成为实现多智能体系统安全最优行为的主流范式。其核心思路是将分布式梯度流或原始-对偶动力学直接叠加在控制输入上，使闭环系统的稳态恰好收敛到某个静态优化问题的最优解。这一框架的优势在于，只需设计底层的轨迹跟踪或输出调节控制器，再在其输入端注入与优化目标对应的参考信号，即可同时获得稳定性与最优性。

然而，这里存在一个根本性的张力：稳态最优性、闭环稳定性和安全性三者并不能自动相容。具体而言，即使全局最优解满足安全约束——即它是安全集的 interior point——系统在从初始状态向最优解过渡的过程中，物理输出仍可能短暂越界。对于高速公路上的车队编队、微电网的功率分配等安全攸关的应用，这种瞬态违正是不可接受的。

已有的安全反馈优化方法通常借助控制屏障函数（CBF）来约束梯度流。当安全约束相对于控制输入具有较高相对度时，经典的一阶CBF无法直接使用，需要构造高阶控制屏障函数（HOCBF）。这带来三个严重问题：首先，HOCBF要求设计导数链，链中每一级都需要精心调参，使得整体控制器对参数选择极为敏感；其次，HOCBF会引入额外的稳态平衡条件，可能改变原始优化问题的最优解——当最优解恰好位于安全边界上时，这一问题尤为突出；最后，在非凸安全约束下，CBF-QP滤波后的梯度流在障碍边界上可能产生伪吸引子平衡点，使系统收敛到一个局部而非全局最优的边界状态。

这些观察促使研究者重新审视安全与最优性之间的交互关系，探索在不引入HOCBF的前提下实现安全最优输出一致的新路径。

方法

本文的核心创新在于将下层输出调节与上层分布式优化完全解耦，构建参考调控的两层架构。这一设计直觉来自于一个关键洞察：如果能够在参考信号层面施加安全约束，而非在控制输入层面级联HOCBF，就能在保持优化问题最优性结构的同时简化安全设计。

上层称为参考调节层，其任务是驱动各智能体的参考信号 $g_i$ 趋向原始优化问题的最优解 $r^{\star }$，同时保证参考轨迹始终满足安全约束。具体而言，上层求解一个分布式稀疏二次规划问题（QP），其目标函数是最小化参考梯度流 ${\rho }_i$ 与负梯度 $-\nabla c_i(y_i)$ 之间的偏离，约束条件包括三个层面：第一，一致性约束确保参考信号在通信网络上达成共识；第二，参考层面的CBF约束保证参考信号本身不越界；第三，也是最关键的设计，DSM-CBF约束将下层跟踪Lyapunov函数的子水平集作为安全裕度，约束参考变化率以维护下层的瞬态安全域。值得注意的是，参考CBF是一阶的，相比HOCBF大大降低了设计自由度与调参难度。此外，当参考冻结（${\rho }_i=0$）时所有约束自动满足，确保了QP的平凡可行性。

下层称为跟踪层，其职责是使智能体的物理输出 $y_i$ 渐近跟踪上层给定的参考信号 $g_i$。这一层采用基于内模的输出调节器，并通过参考依赖的李雅普诺夫函数 $V_i({\chi }_i,g_i)$ 来刻画跟踪误差的衰减特性。对于固定参考 $g_i$，该Lyapunov函数单调非增，使得跟踪误差渐近收敛。

在此基础上，论文构造了动态安全裕度（DSMs）这一核心概念。对于输出安全约束 ${\eta }_{ik}(y_i)\ge 0$，定义安全能量阈值 ${\Gamma }_{ik}^S(g_i)$ 为Lyapunov函数在提升后安全边界上的下确界，则动态安全裕度为 $M_{ik}^S({\chi }_i,g_i):={\Gamma }_{ik}^S(g_i)-V_i({\chi }_i,g_i)$。当 $M_{ik}^S>0$ 时，跟踪层的Lyapunov子水平集不与安全边界相交，这意味着在下层收敛之前，物理输出不会违反安全约束——这正是"动态"裕度的含义：它随着参考信号的变化而自适应调整，但始终保护瞬态安全性。

DSM相容性条件是连接上下两层的理论桥梁。该条件要求在最优解 $g^{\star }$ 处，DSM的负梯度可以由活动约束法向量张成的锥来线性表出。在这一条件下，论文证明了理想调节流（${\rho }^{id}(g^{\star })=0$）与静态优化问题KKT条件之间的等价性——即安全-DSM约束不会引入额外的稳态平衡条件，原始优化问题的最优解得以完整保留。

收敛性分析采用Lyapunov小增益方法。跟踪误差 $e_{\chi }:=\chi -{\chi }^{\star }(g)$ 形成了上下两层之间的耦合通道。通过QP扰动分析，可以证明跟踪层误差对上层的扰动是Lipschitz的；而跟踪层的Lyapunov估计则表明，相对理想流的跟踪误差受上层的二次型约束驱动。构造复合Lyapunov函数 $V=V_x+\gamma V_o$，只要满足小增益条件 ${\bar{b}}_x{d}_o<(1-{\epsilon }_o)a_o{\bar{a}}_x$，闭环轨迹就能同时保证前向不变性、跟踪误差收敛以及最优性恢复。

对于非凸障碍产生的伪平衡点问题，论文引入了自适应切向目标整形机制。当系统被困在障碍边界上的吸引型平衡点时，整形项在参考的切平面上添加二阶修正，使该平衡点的缩减Hessian失去正定性，从而从吸引型转变为鞍型。关键在于，整形状态的演化采用连续平滑动力学，仅在接近障碍边界时激活，既避免了不连续切换带来的分析困难，又完整保留了所有CBF/DSM安全约束。

实验与结果

实验以5个异构空中载具为测试平台，其二阶非线性动力学来自旋转坐标系下的基准模型，通信拓扑为带权重的无向环。优化目标设定为各智能体状态与公共参考点 $e=(2.5,2.5{)}^{\top }$ 之间的欧氏距离之和，安全集为正六边形工作空间。值得特别关注的是，约束最优解 $r^{\star }=(1.04,1.66{)}^{\top }$ 恰好落在安全边界上——这一设置刻意构造了最优性与安全约束的直接冲突，是检验方法有效性的试金石。

论文将本文方法与两类代表性基线进行对比。第一类是基于HOCBF的反馈优化方法（SGF-HOCBF），通过额外积分链将安全约束提升至相对度二；第二类是投影原始-对偶反馈优化，仅通过投影保证稳态约束满足，不刻意保护瞬态安全。

实验结果揭示了两个基线的明确失效模式。SGF-HOCBF在参数各向异性预镇定下收敛到非最优边界点 $(1.96,0.06)$，与真解的平均距离达 $1.84$，证实了HOCBF在最优解位于边界时会破坏稳态最优性。投影原始-对偶方法虽能稳态收敛到 $r^{\star }$，但轨迹在过渡期明显离开安全集，瞬态安全性无法保证。

相比之下，本文方法在两种增益配置下均严格收敛到全局最优解 $r^{\star }$：各向同性增益下输出距离精度达 $7.61\times 10^{-11}$，各向异性增益下达 $1.20\times 10^{-10}$，最小输出安全值维持在 $10^{-10}$ 量级，DSM值全程保持非负直至数值精度极限。

非凸障碍实验进一步验证了自适应切向整形的有效性。在原点 $(0.5,1.0)$ 半径 $0.25$ 的圆形障碍存在时，无整形机制的系统在达成一致后停留在障碍边界上的非最优点 $(0.34,0.81)$；施加切向整形后，系统成功绕过障碍并收敛到 $r^{\star }=(1.04,1.66)$，最小参考裕度与输出裕度分别为 $0.110$ 与 $0.103$，均为正值。

讨论与可借鉴点

这篇论文最值得关注的设计启示在于，通过将安全约束从控制输入层面"上浮"到参考层面，成功规避了HOCBF的调参敏感性，同时利用参考依赖Lyapunov函数构造的DSMs实现了瞬态安全保护。这种将优化层与安全层解耦、再通过DSM相容性条件在理论上保证最优性不损失的思路，对于其他安全反馈优化研究具有方法论层面的参考价值。

论文的局限同样值得正视。DSM相容性条件——即DSM负梯度属于活动约束法向量锥——在高度非凸或耦合的约束下可能难以满足且难以验证，这限制了该方法在更复杂安全约束场景中的直接应用。此外，理论分析依赖S-凸的代价函数假设和非凸整形的简化处理，在更一般的非线性情形下的收敛性保证尚不完整。仿真部分仅覆盖了单一任务配置和轻量级场景，缺乏对时变通信拓扑、智能体动态异构性、大规模系统等更具挑战性设置的验证。

对于该领域的未来研究，一个有前景的方向是将DSM相容性的验证机制自动化——当条件不满足时，系统能否自适应地收紧安全裕度或触发重规划？另一个开放问题是如何在保持分布式可求解性的同时，将这一框架推广到在线变化的优化目标或时变安全约束场景。这些挑战的解决将进一步拓展参考调控方法在真实安全攸关系统中的适用范围。

摘要

本文研究具有输出安全约束的非线性多智能体系统的安全最优输出一致性问题。现有的安全反馈优化方法通常通过被控对象输入直接实现梯度流动力学，这往往需要采用高阶控制屏障函数（HOCBFs）。由此产生的导数链设计对参数调节敏感，并可能引入额外的平衡条件，从而改变稳态最优解。我们提出了一种参考调控的双层架构，将下层的输出调节与上层的分布式优化加以分离。上层通过一阶控制屏障函数约束对参考梯度流进行滤波，该约束更易于调节，并能保留原一致性问题在稳态下的最优性结构。下层采用基于内模的输出调节器，并借助参考相关的李雅普诺夫函数，由此构造动态安全裕度（DSMs）以证明瞬态输出安全性。我们通过李雅普诺夫小增益论证方法，证明了前向不变性、在DSM相容性条件下的最优解保持性以及收敛性。仿真验证了安全收敛性，展示了相对于基于HOCBF的反馈优化方法的优势，并演示了利用自适应切向目标整形以逃离由非凸障碍物所引起的伪平衡点。

Abstract

This paper studies safe optimal output agreement for nonlinear multi-agent systems with output safety constraints. Existing safe feedback optimization methods often implement gradient-flow dynamics directly through the plant input, which may require high-order control barrier functions (HOCBFs). The resulting derivative-chain design is tuning-sensitive and can introduce additional equilibrium conditions that alter the steady-state optimal solution. We propose a reference-governed two-layer architecture that separates lower-layer output regulation from upper-layer distributed optimization. The upper layer filters the reference gradient flow through first-order control barrier function constraints, which are easier to tune and preserve the steady-state optimality structure of the original agreement problem. The lower layer uses an internal-model-based output regulator with a reference-dependent Lyapunov function, from which dynamic safety margins (DSMs) are constructed to certify transient output safety. We prove forward invariance, optimal-solution preservation under DSM-compatibility conditions, and convergence via a Lyapunov small-gain argument. Simulations validate safe convergence, show advantages over HOCBF-based feedback optimization, and demonstrate adaptive tangential objective shaping for escaping spurious equilibria induced by nonconvex obstacles.

论文详细总结（自动生成）

论文总结：参考调控分布式安全梯度流

1. 核心问题与研究动机

本文研究具有输出安全约束的非线性多智能体系统（MAS）的安全最优输出一致问题。

• 背景：分布式反馈优化（feedback optimization）通过将分布式梯度流或原始-对偶动力学直接施加在被控对象输入端，使闭环稳态收敛到静态优化问题的最优解。该思路在多机器人协同、电网、交通网络等场景中应用广泛。
• 关键痛点：稳态最优性 + 闭环稳定性 ≠ 安全性。即使最优解位于可行域内，物理输出在瞬态过渡过程中仍可能违反安全约束。
• 现有方案的局限：将梯度流直接叠加在控制输入上，安全约束通常具有高相对度，不得不使用高阶控制屏障函数（HOCBFs）。这带来三个问题：

1. 需要构造导数链，调参极为敏感；

2. HOCBF 引入额外的稳态平衡条件，可能改变原始静态优化问题的最优解；

3. 非凸安全约束下，CBF-QP 滤波后的梯度流在边界上可能产生伪吸引子平衡点（spurious equilibria），使系统卡在非最优边界点上。

2. 方法论

2.1 整体架构：参考调控的两层分离

提出将下层输出调节与上层分布式优化解耦的双层架构：

• 下层（跟踪层）：内模输出调节器 + 参考依赖的 Lyapunov 函数；
• 上层（参考调节层）：分布式参考调控器（reference governor），生成参考信号 $g_i$，驱动其趋向静态最优解 $r^{\star }$。

系统架构（系统状态 ${\chi }_i$、参考 $g_i$）：

2.2 下层：内模跟踪 Lyapunov 函数与动态安全裕度（DSM）

• 每个智能体配有一个跟踪 Lyapunov 函数 $V_i({\chi }_i,g_i)$，对固定参考 $g_i$ 单调非增；
• 针对输出安全约束 ${\eta }_{ik}(y_i)\ge 0$，定义安全能量阈值：

• 动态安全裕度：

$M_{ik}^S>0$ 意味着跟踪层的 Lyapunov 子水平集不与提升后的安全边界相交，从而在参考固定的前提下保证瞬态输出安全。类似地，稳定性域裕度 $M_i^D$ 保证 Lyapunov 域有效性（仅在非全局 Lyapunov 函数时使用）。

2.3 上层：分布式网络稀疏 QP

上层以一阶 CBF 约束直接施加在参考动力学上，避免 HOCBF：

QP 仅在邻居之间耦合，结构稀疏可用分布式求解器。注 1 指出：冻结参考 ${\rho }_i=0$ 总满足 CBF 约束，因此 QP 平凡可行。

2.4 最优解保持性：理想调节流 ↔ KKT 等价

定义理想调节流 QP（29）（令 ${\chi }_i={\chi }_i^{\star }(g_i),y_i=g_i,{\dot{\chi }}_i=0$）。在 DSM 相容性条件：

以及稳定域裕度严格非激活 ${\bar{M}}_i^D(g_i^{\star })>0$ 下，定理 1 证明：

即安全-DSM 不会引入额外的稳态平衡条件。

命题 1 进一步验证：对于精确安全 DSM，在边界点上 ${\bar{M}}_{ik}^S$ 的负梯度可由活动约束的法向锥线性表出，因此 DSM 相容性自动成立。

2.5 Lyapunov 小增益收敛

把跟踪误差 $e_{\chi }:=\chi -{\chi }^{\star }(g)$ 作为耦合项。引理 1 通过 QP 扰动估计，证明跟踪层误差对上层的扰动是 Lipschitz 的：

引理 2 给出相对理想流的跟踪估计：

构造复合 Lyapunov 函数 $V=V_x+\gamma V_o$，定理 2 给出小增益条件：

只要满足该条件，闭环轨迹满足：

• 前向不变性：${\eta }_{ik}(y_i(t))\ge 0,\forall t\ge 0$；
• 收敛性：$e_{\chi }(t)\to 0$，${\rho }^{id}(g(t))\to 0$；
• 最优性恢复：在 S 凸时，$g_i(t)\to r^{\star }$，$y_i(t)\to r^{\star }$。

2.6 非凸障碍的自适应切向目标整形

在边界平衡点 ${\bar{r}}_e$ 处（满足简化 KKT 条件 $\nabla C({\bar{r}}_e)-{\lambda }_{i,e}\nabla {\eta }_i^0({\bar{r}}_e)=0$），定义缩减 Hessian：

若 $H_{i,e}\succ 0$，该点是吸引型边界平衡。引入整形项：

其中 $P_{i,T}=I-\frac{\nabla {\eta }_i^0\nabla {\eta }_i^0{}^{\top }}{\Vert \nabla {\eta }_i^0{\Vert }^2}$ 为切向投影。整形状态 ${\vartheta }_i=({\sigma }_i,{\xi }_i,Q_i)$ 通过连续平滑动力学（式(69)）演化，仅当接近障碍边界时激活。

命题 2 证明：整形后缩减 Hessian 变为 $H_{i,e}^s=H_{i,e}-{\sigma }_{i,e}{T}_{i,e}^{\top }{Q}_i{T}_{i,e}$，只要 ${\lambda }_{\min }(H_{i,e}^s)<0$，吸引型平衡变为鞍型，系统能逃离伪平衡。

3. 实验设计

• 场景：5 个异构空中载具，动力学来自文献 [30] 的基准 ${\ddot{p}}_{x,i}-2{\omega }_i{\dot{p}}_{y,i}={\tau }_{x,i}$，${\ddot{p}}_{y,i}+2{\omega }_i{\dot{p}}_{x,i}-3{\omega }_i^2{p}_{y,i}={\tau }_{y,i}$，通信图为带单位权重的无向环；
• 目标函数：$c_i(r)=\frac{1}{2}\Vert r-e_i{\Vert }^2$，设 $e_i=e=(2.5,2.5{)}^{\top }$；
• 安全集：正六边形工作空间 $\Omega =\{r:{\eta }_{\ell }(r)\ge 0,\ell =1,\dots ,6\}$，约束最优解 $r^{\star }=(1.04,1.66{)}^{\top }$ 恰位于边界上；
• 基线对比：

1. SGF-HOCBF 反馈优化（[15]）：通过额外积分链把安全约束提高相对度；

2. 投影原始-对偶反馈优化（[19]）：仅保证稳态不等式约束成立，不保证瞬态安全；

• 附加场景：在原点 $o=(0.5,1.0{)}^{\top }$、半径 $r_o=0.25$ 处加入非凸圆形障碍，测试伪平衡与切向整形。

4. 资源与算力

论文未明确说明所用 GPU 型号、节点数量或训练/仿真时长。仿真部分在 arXiv 截图中呈现的是单机数值实验（5 个智能体 + QP），从规模上推断属于轻量计算，无需大规模并行算力。

5. 实验数量与充分性

评价：

• 仿真相对充分：覆盖了对偶基线（稳态正确但瞬态不安全）、HOCBF 基线（瞬态安全但可能错失最优）、非凸障碍下整形机制的对照；
• 但仍存局限：仅有一个具体任务（5 个空中载具 + 六边形 + 圆形障碍），缺乏更复杂拓扑（连通性退化、时变图、参数异构等）和更大规模的实验；未给出与最新 references [23, 24] 的定量对比；缺少消融实验（如去掉 DSM-CBF、去掉稳定性域约束的影响）。

6. 主要结论与发现

1. SGF-HOCBF 的失效：在 $\omega$ 各向异性预镇定下，SGF-HOCBF 收敛到非最优边界点 $(1.96,0.06)$，距真解 $r^{\star }=(1.04,1.66)$ 平均距离 $1.84$——证实 HOCBF 会在最优解位于安全边界时破坏稳态最优性。

2. 投影原始-对偶的失效：能稳态收敛到 $r^{\star }$，但轨迹在过渡期离开安全集，证实仅做投影不足以保证前向不变性。

3. 本文方法的有效性：在两种增益下均严格收敛到 $r^{\star }$，平均输出距离 $7.61\times 10^{-11}$（各向同性）与 $1.20\times 10^{-10}$（各向异性），最小输出安全值 $\sim 10^{-10}$，DSM 值保持非负至数值精度。

4. 非凸障碍处理：无整形时，智能体达成一致后停留在非最优障碍边界点 $(0.34,0.81)$；施加切向整形后绕过障碍，收敛到 $r^{\star }=(1.04,1.66)$，最小参考与输出障碍裕度分别为 $0.110$ 与 $0.103$。

7. 优点与亮点

• 架构创新：将 HOCBF 的"导数链设计"替换为参考层面的一阶 CBF，降低安全设计维度与调参负担；
• 理论严谨：证明了三件独立但互相耦合的事——前向不变性、最优解保持性（在 DSM 相容条件下）、Lyapunov 小增益收敛——并明确给出 DSM 相容性条件，揭示何时设计不会污染原始最优点；
• DSM 与 CBF 的自然结合：将参考依赖的 Lyapunov 子水平集看作增广状态-参考系统的 CBF（与 [23, 24] 的思想接续），得到的 QP 仅在邻居间耦合，可分布式求解；
• 非凸处理：自适应切向整形以连续平滑动力学激活（不引入不连续切换），保留所有 CBF/DSM 安全约束，使伪吸引平衡转为鞍型；
• 仿真对比清晰：直接对照 HOCBF 和投影原始-对偶两个有代表性的基线，分别暴露它们的核心缺陷。

8. 不足与局限

• DSM 相容性假设较强：证明最优解保持需要 ${\bar{n}}_{ik}^S(g^{\star })\in \mathrm{cone}\{\nabla {\eta }_{i\ell }(g^{\star })\}$；在复杂非凸或高度耦合的安全约束下，这一条件可能不易满足且难以验证；
• 最优解位于非凸边界时未完整分析：第 7 节仅是初步扩展，未给出全局收敛与安全保证；
• 追踪 Lyapunov 函数依赖内模：对动力学未知的系统（如黑箱深度网络），内模和调节方程不再可用，方法的可迁移性受限；
• 小增益条件难以验证：式 (58) 的常数 ${\ell }_{\rho },{\bar{a}}_x,{\bar{b}}_x,d_o,a_o,b_o$ 隐含依赖运行点的 Lipschitz 上界，实际部署时需要额外的离线辨识；
• 实验规模有限：仅 5 节点环图、单一六边形 + 单一圆形障碍任务，未涉及更大规模或时变通信拓扑，也未给出量化统计与重复试验结果；
• 算力透明度不足：未报告任何计算资源信息，仿真参数完全给出但缺乏运行时间、实时性能指标；
• 离散实现与延迟：连续 QP 求解的离散化误差、邻居通信延迟未在稳定性分析中显式处理；
• 应用边界：结果集中在输出一致形式，未推广至更一般的分布式反馈优化目标（如通用非凸成本、博弈均衡），作者已明示这是未来工作。

（完）